Paradox narodenín: Prečo je intuícia v pravdepodobnosti častým nepriateľom

Pamätáte si na to, keď niektorí dvaja spolužiaci vo vašej školskej triede alebo kolegovia na pracovisku mali narodeniny v rovnaký deň? Hovorili ste si, že to je zaujímavé a nepravdepodobné? Napadlo vám zistiť, aká je vôbec pravdepodobnosť takejto udalosti? Často nás prekvapí, ako veľmi sa náš rozum dokáže mýliť, ak necháme pracovať iba intuíciu.

Základné princípy pravdepodobnosti

Kým začneme počítať, budú sa nám hodiť nasledujúce základné vlastnosti pravdepodobnosti:

• Dopočet do jednotky: Ak spočítame pravdepodobnosť opačného javu, než ktorý máme zadaný, pravdepodobnosť zadaného javu je dopočet do 1 (do 100 %). Príklad: Ak je pravdepodobnosť, že na hracej kocke „padne 6“, rovná 1/6, pravdepodobnosť opačného javu („nepadne 6“) je 1 - 1/6 = 5/6.
• Výpočet pomocou podielu: Pravdepodobnosť sa dá zjednodušiť na výpočet pomocou podielu počtu „vyhovujúcich“ výsledkov (k) a počtu všetkých možných výsledkov (m). Teda P = k/m.
• Výpočet po častiach: Ak rozdelíme skúmaný jav na viac podjavov, pravdepodobnosť celkového javu je súčinom pravdepodobností všetkých rozdelených javov.

Poznámka: V celom článku rátame s predpokladom, že sa ľudia rodia počas roka rovnomerne a nezávisle na sebe a že neexistuje prestupný rok.

Praktický príklad: Večera štyroch priateľov

Začnime s tým, že sa stretneme s tromi priateľmi na večeri, sme teda celkovo štyria. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň dvaja z nás majú narodeniny v rovnaký deň? Využijeme prvú vlastnosť a najskôr spočítame pravdepodobnosť, že nikto z nás nemá narodeniny v rovnaký deň.

1. Prvý člen sa mohol narodiť v ktorýkoľvek z 365 dní (pravdepodobnosť 365/365 = 1).
2. Druhý sa mohol narodiť v ktoromkoľvek zo zostávajúcich 364 dní (364/365).
3. Tretí sa nesmel narodiť v deň narodenín 1. alebo 2. člena (363/365).
4. Štvrtý nesmel mať narodeniny v žiadnom z predchádzajúcich dní (362/365).

Vynásobením týchto pravdepodobností dostaneme výsledok cca 98,4 % pre opačný jav. Pravdepodobnosť nášho zadaného javu (že aspoň dvaja majú narodeniny v rovnaký deň) je teda 1,6 % (100 % - 98,4 %).

Kedy je pravdepodobnosť 50 %?

Koľko náhodne vybraných ľudí potrebujeme v jednej miestnosti, aby bola pravdepodobnosť zhody narodenín aspoň 50 %? Intuícia nás často vedie k vysokým číslam, ako 100 alebo 200, no realita je iná.

Ak označíme počet ľudí ako n, hľadáme najmenšie číslo, pri ktorom pravdepodobnosť opačného javu klesne pod 50 %. Pri 23 ľuďoch je pravdepodobnosť zhody v rovnaký deň 50,73 %. Prečo tak málo? Pretože nesledujeme len jedného človeka, ale porovnávame narodeniny všetkých možných párov v skupine. Pri 23 ľuďoch existuje až 253 možných kombinácií párov (23 * 22 / 2 = 253).

Tabuľka pravdepodobnosti zhody

Ako vidíte, pri skupine 69 ľudí je už takmer isté, že aspoň dvaja z nich oslavujú narodeniny v rovnaký deň. Tieto príklady sú jasným dôkazom toho, že pri odhadoch založených na pravdepodobnosti by sme sa nemali spoliehať len na svoje pocity.

tags: #pravdepodobnost #priklady #narodeniny #v #ten #siry