Koncept narodeninového paradoxu je fascinujúcim príkladom, ako sa naša intuícia môže mýliť pri odhadovaní pravdepodobností. Hoci sa na prvý pohľad zdá nepravdepodobné, že v malej skupine ľudí budú mať aspoň dvaja z nich narodeniny v ten istý deň, matematické výpočty ukazujú opak. V tomto článku sa pozrieme na to, aká je pravdepodobnosť zhodných narodenín pre skupinu dvanástich ľudí a vysvetlíme si princípy, na ktorých tento paradox stojí.
Základné predpoklady
Majme v miestnosti n ľudí. Pre zjednodušenie výpočtov budeme predpokladať, že ľudia sa rodia rovnako pravdepodobne v každom z 365 možných dátumov v roku. (Vylúčime pre jednoduchosť z hry všetkých, ktorí sa narodili 29. februára, čím ignorujeme prestupné roky.)
Výpočet pravdepodobnosti, že nikto nemá rovnaké narodeniny
Našou primárnou úlohou je vypočítať pravdepodobnosť javu, že aspoň dvaja ľudia v skupine majú narodeniny v ten istý deň. Bude pre nás jednoduchšie najprv vypočítať pravdepodobnosť opačného javu, teda že žiadni dvaja ľudia v skupine nemajú narodeniny v ten istý deň.
Pre dvoch ľudí (B2)
Začneme jednoduchšie. Vypočítame najprv pravdepodobnosť javu B2: „Žiadni dvaja ľudia z 2 ľudí nemajú narodeniny v ten istý deň.“
Ak má prvý z nich nejaký dátum narodenia (pravdepodobnosť je 365/365 = 1), druhý už musí mať iný. Môže si „vybrať“ z 365 - 1 = 364 dátumov. Teda pravdepodobnosť, že druhý má iný dátum narodenia ako prvý, je 364/365.
Pre troch ľudí (B3)
Teraz sa pozrieme na jav B3: „Žiadni dvaja ľudia z 3 ľudí nemajú narodeniny v ten istý deň.“
Pravdepodobnosť javu, že druhý má iný dátum narodenín ako prvý, je, ako sme už povedali, 364/365.
Pravdepodobnosť javu, že tretí má iný dátum narodenia ako prví dvaja, je už len 363/365 (pretože ostáva 365 - 2 = 363 voľných dátumov).
Ak žiadni dvaja ľudia v skupine nemajú mať rovnaké narodeniny, tak musia tieto javy nastať zároveň. Musíme preto vypočítať pravdepodobnosť ich prieniku.
Pre n ľudí je pravdepodobnosť, že žiadni dvaja nemajú rovnaké narodeniny, daná súčinom:
P(žiadne zhodné narodeniny) = (365/365) * (364/365) * (363/365) * ... * ((365 - n + 1)/365)
Pravdepodobnosť zhodných narodenín pre dvanásť ľudí
Pre skupinu dvanástich ľudí (n = 12) vypočítame najprv pravdepodobnosť, že žiadni dvaja nemajú rovnaké narodeniny. Táto pravdepodobnosť P(B12) je:
P(B12) = (365/365) * (364/365) * (363/365) * (362/365) * (361/365) * (360/365) * (359/365) * (358/365) * (357/365) * (356/365) * (355/365) * (354/365)
Približná hodnota P(B12) je približne 0,832.
Pravdepodobnosť, že aspoň dvaja ľudia z dvanástich majú narodeniny v ten istý deň, je doplnkom tohto javu, teda:
P(aspoň dvaja zhodné narodeniny) = 1 - P(B12) = 1 - 0,832 = 0,168.
To znamená, že v skupine 12 ľudí je približne 16,8% šanca, že aspoň dvaja z nich oslávia narodeniny v rovnaký deň. Hoci to nemusí znieť ako vysoká pravdepodobnosť, pre takú malú skupinu je prekvapivo vysoká.
Príklad s väčšou skupinou
Ak sa na párty zíde 50 ľudí, aká je pravdepodobnosť, že aspoň 2 z nich oslávia narodeniny v ten istý deň? Použijeme rovnakú logiku. Vypočítame pravdepodobnosť, že žiadni dvaja z 50 ľudí nemajú rovnaké narodeniny:
P(žiadne zhodné pre 50 ľudí) = (365/365) * (364/365) * ... * (316/365)
Táto hodnota je približne 0,0296 (zaokrúhlené na 4 desatinné miesta).
Pravdepodobnosť, že aspoň dvaja ľudia z 50 majú narodeniny v ten istý deň, je teda:
P(aspoň dvaja zhodné pre 50 ľudí) = 1 - 0,0296 = 0,9704.
Výsledok zaokrúhlený na 2 desatinné miesta je 0,97. Je to prekvapivo vysoká pravdepodobnosť blízka istote!
Relatívna početnosť a pravdepodobnosť
V tabuľke (ktorá tu nie je zobrazená) je typicky uvedený prehľad pravdepodobností pre rôzne veľkosti skupín. Tieto tabuľky často ilustrujú, ako rýchlo rastie pravdepodobnosť zhodných narodenín s pribúdajúcim počtom ľudí. Na nasledujúcej stránke by sme sa pozreli na to, ako súvisí vypočítaná pravdepodobnosť s relatívnou početnosťou, čo je empirický odhad pravdepodobnosti založený na pozorovaniach.
tags: #aka #je #pravdepodobnost #ze #narodeniny #dvanastich