Narodeninový paradox: Prekvapivá pravdepodobnosť zhody narodenín

Už ste niekedy boli svedkami toho, ako dvaja spolužiaci v triede alebo kolegovia na pracovisku mali narodeniny v rovnaký deň? Možno ste si vtedy pomysleli, že je to zaujímavé a nepravdepodobné. No napadlo vám zistiť, aká je vôbec pravdepodobnosť takejto udalosti? A koľko náhodne vybraných ľudí potrebujete v jednej miestnosti, aby pravdepodobnosť, že v danej skupine budú mať dvaja ľudia narodeniny v rovnaký deň, bola takmer 100%?

Narodeninový paradox je matematický paradox, ktorý hovorí, že v skupine len 23 náhodne vybraných ľudí existuje viac ako 50% šanca, že dvaja z nich budú mať narodeniny v rovnaký deň. Tento jav je označený ako paradox, pretože jeho výsledok sa líši od intuitívneho odhadu väčšiny ľudí.

Základné princípy pravdepodobnosti

Kým sa pustíme do podrobného výpočtu, pripomeňme si niektoré základné vlastnosti pravdepodobnosti, ktoré sa nám budú hodiť:

1. Pravdepodobnosť opačného javu: Ak poznáme pravdepodobnosť opačného javu (udalosti, ktorá sa nestane), potom pravdepodobnosť zadaného javu je dopočet do 1 (alebo "do sto percent"). Napríklad, pravdepodobnosť, že na klasickej hracej kocke "padne 6", je 1/6. Pravdepodobnosť opačného javu, že "nepadne 6", je potom 1 - 1/6 = 5/6.
2. Výpočet pravdepodobnosti ako podiel: Pravdepodobnosť možno zjednodušiť na výpočet pomocou podielu počtu "vyhovujúcich" výsledkov nášho javu (označme ako k) a počtu všetkých možných výsledkov (označme ako m). Teda pravdepodobnosť je k/m. V príklade s kockou je k = 1 (vyhovujúci výsledok je len jedna "šestka") a m = 6 (šesť možných výsledkov).
3. Súčin pravdepodobností pre zložené javy: Ak počítame pravdepodobnosť "po častiach" (teda rozdelíme skúmaný jav na viac podjavov), pravdepodobnosť celého skúmaného javu je súčinom pravdepodobností všetkých rozdelených javov.

Prvý príklad: Štyria priatelia

Začnime s jednoduchým príkladom. Predstavte si, že sa stretneme traja priatelia na večeri, čiže sme celkovo štyria. Podľa prvej vlastnosti pravdepodobnosti môžeme najskôr spočítať pravdepodobnosť, že nikto z nás nemá narodeniny v rovnaký deň. Neskôr dopočtom do jednotky zistíme pravdepodobnosť, že aspoň dvaja z nás majú narodeniny v rovnaký deň.

Pri výpočtoch pre narodeninový paradox sa bežne predpokladá, že ľudia sa rodia počas roka rovnomerne a nezávisle na sebe a že neexistuje prestupný rok (teda rok má 365 dní).

1. Prvý člen: Mohol sa narodiť v ktorýkoľvek z 365 dní v roku. Pravdepodobnosť, že sa tak stane, je 365/365 = 1 (čo znamená, že sa niekedy musel narodiť).
2. Druhý člen: Aby nemal narodeniny v rovnaký deň ako prvý, mohol sa narodiť len v zostávajúcich 364 dňoch. Pravdepodobnosť, že sa tak stane, je 364/365.
3. Tretí člen: Nesmie sa narodiť v deň narodenín prvého ani druhého. Pravdepodobnosť je 363/365.
4. Štvrtý člen: Nesmie sa narodiť v deň narodenín žiadneho z predošlých troch. Pravdepodobnosť je 362/365.

Pravdepodobnosť, že všetci štyria majú narodeniny v iný deň, je súčinom týchto pravdepodobností:

\(\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \frac{362}{365} \approx 0,9836\) (čiže 98,36 %)

Pravdepodobnosť, že aspoň dvaja z nás majú narodeniny v rovnaký deň, je dopočet do jednotky:

\(1 - 0,9836 = 0,0164\) (čiže 1,64 %)

Je logické, že pri takej malej skupine vyšla takto malá pravdepodobnosť.

Jadro paradoxu: 23 ľudí a 50 % pravdepodobnosť

Koľko ľudí je potrebných pre 50% šancu?

Keď sa zamyslíme nad otázkou, koľko ľudí je potrebných pre 50% šancu zhody narodenín, naša intuícia nás často navádza na oveľa vyššie číslo - možno 100, 200, alebo dokonca 365 ľudí. Skutočnosť je však prekvapivá.

Pre výpočet budeme hľadať najmenšie číslo n (počet ľudí), pre ktoré je pravdepodobnosť, že aspoň dvaja ľudia majú narodeniny v rovnaký deň, aspoň 50 %. To znamená, že pravdepodobnosť opačného javu (nikto nemá narodeniny v rovnaký deň) musí byť menšia ako 50 %.

Ak by sme mali 366 ľudí, pravdepodobnosť, že nikto z nich nemá narodeniny v rovnaký deň, je nulová. To je logické, pretože ak 365 z nich má narodeniny každý v iný deň roka, potom 366. človek musí mať zákonite narodeniny v jeden z tých 365 dní.

Prečo tak málo? Pochopenie počtu párov

Prečo je číslo 23 tak neintuitívne malé? Celý paradox je založený na našom vnímaní čísla 23, ktoré sa zdá byť malé v porovnaní s 365 dňami v roku. Avšak podmienky úlohy hovoria o dvoch ľuďoch, ktorým hľadáme narodeniny v ten istý deň. Inak povedané, hľadáme možné dvojice.

Poďme sa pozrieť na to, koľko dvojíc vieme vytvoriť v skupine ľudí:

• Pri troch ľuďoch: sú to 3 rôzne spojenia - dvojice.
• Pri štyroch ľuďoch: je to 6 dvojíc.

Takto by sme mohli pokračovať ďalej. Pre skupinu 23 ľudí to vieme spočítať dvoma základnými technikami:

1. Postupné sčítanie: Vytvoríme všetky dvojice s prvým človekom (bude ich 22), potom všetky ešte nevytvorené dvojice s druhým človekom (bude ich 21) a tak ďalej, až po posledného človeka.

   \(22 + 21 + 20 + \ldots + 2 + 1 = 253\)

2. Kombinácie: V matematike sa na výber dvojíc z n rôznych prvkov používa kombinačné číslo.

   \(C_2(23) = \binom{23}{2} = \frac{23 \times (23-1)}{2} = \frac{23 \times 22}{2} = 253\)

Číslo 253 dáva tušiť, že nájsť narodeniny dvoch ľudí v rovnaký deň v skupine 23 ľudí nebude až tak nepravdepodobné. Máme 253 možných dátumových zhôd voči 365 dňom v roku. Nemôžeme však jednoducho urobiť zlomok 253/365, hoc sa to intuitívne núka, pretože udalosti nie sú nezávislé.

Výpočet pre 23 ľudí

Použijeme rovnaký postup ako pre štyroch ľudí - spočítame pravdepodobnosť, že všetkých 23 ľudí má narodeniny v iný deň, a potom použijeme dopočet do jednotky. Hodnotu n označíme ako počet ľudí.

Pravdepodobnosť, že všetkých n ľudí má narodeniny v rôzne dni, sa vypočíta ako:

\(P(\text{všetci iný deň}) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \ldots \times \frac{365 - n + 1}{365}\)

Pre n = 23 ľudí je to:

\(P(\text{všetci iný deň}) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \ldots \times \frac{343}{365}\)

Výsledok tohto súčinu je približne 0,492703 (čiže 49,27 %).

Jav, že aspoň dvaja ľudia budú mať narodeniny v ten istý deň, je presne opačným javom, takže vypočítanú pravdepodobnosť musíme odpočítať od jednotky:

\(P(\text{aspoň dvaja zhodu}) = 1 - 0,492703 = 0,507297\)

To je 50,73 % pravdepodobnosť dátumovej zhody! Je teda pravdepodobnejšie (viac ako 50 %), že v skupine 23 ľudí sa nájde zhoda narodenín, než že sa nenájde. Tento výsledok je v skutočnosti oveľa nižší, ako si väčšina ľudí intuitívne predstavuje.

Ďalšie zaujímavé čísla

• Pri skupine 50 ľudí je pravdepodobnosť zhody narodenín už približne 97 %.
• Ak do vzťahov dosadíme číslo 69, zistíme, že pravdepodobnosť, že medzi 69 náhodne vybranými ľuďmi sú aspoň dvaja, ktorí majú narodeniny v rovnaký deň, je 99,9 %.

Na týchto príkladoch je dobre ilustrované, že náš rozum sa dokáže pomerne ľahko pomýliť, pokiaľ necháme pracovať iba intuíciu a neoprieme sa o matematický výpočet. Intuícia často zlyháva pri práci s exponenciálnym rastom a kombinatorikou.

Predpoklady výpočtu

V celom článku sme počítali s predpokladom, že sa ľudia rodia počas roka rovnomerne a nezávisle na sebe a že neexistuje prestupný rok. V skutočnosti však nie sú dáta narodenia rozprestreté rovnomerne v priebehu roka, a to nielen kvôli 29. februáru. Tieto odchýlky však nemenia základný princíp paradoxu, len mierne posúvajú presné čísla.

Doplnenie: Faktoriál

Faktoriál čísla x (označovaný ako x!) sa počíta tak, že sa vynásobia všetky prirodzené čísla, ktoré sú menšie než dané x, až po 1. Napríklad, 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120. Faktoriál má jednu užitočnú vlastnosť: súčinitele možno kedykoľvek prestať vypisovať a za posledný z nich pripísať faktoriál bez toho, aby sa zmenil výsledok, napr. 5! = 5 * 4! = 5 * 4 * 3! = 5 * 4 * 3 * 2!

tags: #vzorece #pre #narodeninovy #paradox