Stalo sa vám niekedy, že ste v školskej triede alebo medzi kolegami v práci zistili, že dvaja ľudia majú narodeniny v rovnaký deň? Často to vnímame ako veľkú náhodu a prekvapujúcu udalosť. Aká veľká však musí byť skupina ľudí, aby existovala 50-percentná šanca, že v nej budú aspoň dvaja jedinci narodení v ten istý deň v roku? Odpoveď je pre mnohých šokujúca: stačí na to iba 23 ľudí.
Čo je narodeninový paradox?
Tento problém je v matematike známy ako narodeninový paradox. Keď sa bežní ľudia snažia intuitívne odhadnúť potrebný počet osôb, často volia číslo 183 (polovica dní v roku). Intuícia však v tomto prípade zlyháva, pretože nedokáže správne pracovať s exponenciálnym rastom pravdepodobnosti a počtom možných dvojíc v skupine.
Pre zjednodušenie výpočtov sa v teórii pravdepodobnosti zvyčajne abstrahuje od prestupných rokov a predpokladá sa, že narodeniny sú v priebehu roka rozložené rovnomerne.
Prečo je intuitívny odhad nesprávny?
Ľudská myseľ má problém pochopiť exponenciálny rast. Podobným príkladom je otázka: „Brali by ste jedno euro prvý deň, dve eurá druhý deň, štyri eurá tretí deň a tak ďalej po dobu 30 dní, alebo radšej 10-tisíc eur v čistom?“ Mnohí by zvolili desaťtisíc, hoci v 30. deň by ste vďaka exponenciálnemu rastu mali 10,7 milióna eur.
V prípade narodeninového paradoxu intuitívne myslíme na to, aká je šanca, že niekto v skupine má narodeniny v rovnaký deň ako vy. V skutočnosti sa však pýtame, aká je šanca, že sa v skupine stretne akákoľvek dvojica.
Matematické vysvetlenie
Na výpočet využívame dve základné vlastnosti pravdepodobnosti:
- Pravdepodobnosť, že sa jav stane, je dopočet opačného javu do jednotky (100 %).
- Pravdepodobnosť spoločného výskytu nezávislých podjavov je súčinom ich jednotlivých pravdepodobností.
Namiesto počítania priamej zhody vypočítame pravdepodobnosť, že nikto nemá narodeniny v rovnaký deň:
| Počet ľudí (n) | Pravdepodobnosť zhody |
|---|---|
| 2 | 0,27 % |
| 3 | 0,82 % |
| 23 | 50,73 % |
| 57 | 99,00 % |
| 69 | 99,90 % |
Počet možných dvojíc
Kľúčom k pochopeniu je fakt, že v skupine 23 ľudí nevytvárame len 23 porovnaní, ale hľadáme všetky možné dvojice. Počet takýchto dvojíc vypočítame pomocou kombinácií:
C₂(23) = 23 × 22 / 2 = 253 možných dvojíc.
Týchto 253 kombinácií je oveľa viac, než by sa na prvý pohľad zdalo, a preto je pravdepodobnosť zhody v takto „malej“ skupine vyššia ako 50 %.
Zhrnutie
Narodeninový problém ilustruje, ako ľahko sa náš rozum mýli, pokiaľ sa spolieha iba na intuíciu namiesto matematickej logiky. Pri 366 ľuďoch je pravdepodobnosť zhody 100 % (Dirichletov princíp), no už pri 23 ľuďoch je pravdepodobnosť viac ako 50 %, čo robí z tohto javu fascinujúci matematický paradox.
tags: #pravdepodobnost #ludia #narodeniny